Qu’est-ce que l’axiome de complétude ?
Axiome de complétude : Tout sous-ensemble non vide de R qui est borné au-dessus a une borne supérieure. En d’autres termes, l’ axiome de complétude garantit que, pour tout ensemble non vide de nombres réels S qui est borné au-dessus, un sup existe (contrairement au max, qui peut ou non exister (voir les exemples ci-dessus).
Comment prouver l’axiome de complétude ?
Cette hypothèse acceptée à propos de R est connue sous le nom d’ axiome d’ exhaustivité : chaque ensemble non vide de nombres réels qui est borné au-dessus a une borne supérieure. Quand on « construit » correctement les nombres réels à partir des nombres rationnels, on peut prouver que l’ axiome de complétude comme théorème.
Pourquoi l’axiome de complétude est-il important ?
Cet axiome distingue les nombres réels de tous les autres champs ordonnés et il est crucial dans les preuves des théorèmes centraux d’analyse. Il existe une définition correspondante pour l’infimum d’un ensemble.
Quels sujets sont couverts dans l’analyse réelle ?
- Liste des sujets – Cours de base sur l’analyse réelle .
- Matériel préliminaire. Bases de la topologie : Nombres réels, topologie définie, espaces métriques.
- Topologie et fonctions continues.
- Théorème des catégories de Baire. Théorème d’Urysohn, théorème d’extension. …
- Mesures et mesurage.
- Sigma – Algèbre des ensembles, Borel sigma-algèbre. …
- III. …
- Définition et propriétés.