Comment montrer qu’un ensemble est indénombrable ?
Un ensemble X est indénombrable si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :
- Il n’y a pas de fonction injective (donc pas de bijection) de X à l’ ensemble des nombres naturels.
- X est non vide et pour toute ω-suite d’éléments de X, il existe au moins un élément de X qui n’y est pas inclus.
Le produit comptable est-il défini ?
Un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est soit fini soit dénombrable infini. Les unions finies et dénombrables infinies d’ ensembles dénombrables sont dénombrables . Les produits cartésiens finis d’ensembles dénombrables sont dénombrables . … Si A est indénombrable , B est un ensemble , et f : A → B est une bijection, alors B est indénombrable .
Le produit cartésien est-il dénombrable ?
Produits cartésiens d’ ensembles dénombrables : si A et B sont dénombrables , alors le produit cartésien A × B est également dénombrable . Il en va de même pour le produit cartésien d’un nombre fini d’ ensembles dénombrables A1 × …
Un ensemble fini peut-il être indénombrable ?
Un ensemble est dit indénombrable s’il n’est pas dénombrable. Une des choses que je vais faire ci-dessous est de montrer l’existence d’ ensembles indénombrables . Lemme 1.
L’ensemble de tous les irrationnels de R est-il dénombrable ?
L’ ensemble R de tous les nombres réels est l’union (disjointe) des ensembles de tous les nombres rationnels et irrationnels . … Si l’ ensemble de tous les nombres irrationnels était dénombrable , alors R serait l’union de deux ensembles dénombrables , donc dénombrables . Ainsi l’ ensemble de tous les nombres irrationnels est indénombrable .
Est-ce que l’ensemble des nombres transcendantaux est dénombrable ?
Propriétés. L’ ensemble des nombres transcendantaux est indénombrable et infini. Puisque les polynômes à coefficients rationnels sont dénombrables , et puisque chacun de ces polynômes a un nombre fini de zéros, les nombres algébriques doivent également être dénombrables . … Cela rend les nombres transcendantaux indénombrables .
0 1 est-il dénombrable ou non ?
Théorème 42 L’intervalle ouvert ( 0 , 1 ) n’est pas un ensemble dénombrable . … Il se compose de tous les nombres réels supérieurs à zéro et inférieurs à 1 , ou de manière équivalente de tous les points de la droite numérique situés à droite de 0 et à gauche de 1 .
L’ensemble des nombres réels dans l’intervalle 0 0,1 est-il dénombrable ?
L’ ensemble des nombres réels contenus dans l’ intervalle ( 0 ,1) est dénombrable .
Tous les intervalles ouverts sont-ils indénombrables ?
Chaque intervalle ouvert est indénombrable , donc tout sous-ensemble ouvert non vide de R est indénombrable . … Chaque sous-ensemble ouvert de R est une union non vide d’ intervalles ouverts disjoints , dont chacun est ouvert . Une union d’ ensembles ouverts est toujours ouverte . Tout intervalle ouvert non vide est indénombrable .
Comment montrer que 0 1 est indénombrable ?
Donc ( 0 , 1 ) est soit dénombrable , soit indénombrable . Nous prouverons que ( 0 , 1) est indénombrable en prouvant que toute injection de ( 0 , 1 ) dans N ne peut pas être une surjection, et donc qu’il n’y a pas de bijection entre ( 0 , 1 ) et N.