Comment prouver qu’un ensemble est indénombrable ?
Un ensemble X est indénombrable si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :
- Il n’y a pas de fonction injective (donc pas de bijection) de X à l’ ensemble des nombres naturels.
- X est non vide et pour toute ω-suite d’éléments de X, il existe au moins un élément de X qui n’y est pas inclus.
Quelle est la différence entre l’ensemble fini infini et les ensembles dénombrables et indénombrables ?
Le mot ‘ Fini ‘ lui-même décrit qu’il est dénombrable et le mot ‘ Infini ‘ signifie qu’il n’est ni fini ni indénombrable …. Comparaison des ensembles finis et infinis :
Facteurs Ensembles finis Ensembles infinis Nombre d’ éléments Les éléments sont dénombrables Le nombre d’ éléments est indénombrable
L’intersection de deux ensembles indénombrables est-elle dénombrable infinie ?
Un exemple d’ ensemble dénombrable infini résultant de l’ intersection de deux ensembles indénombrables est (Z ∪ [0,1]) ∩ (Z ∪ [2,3]) = Z . Un exemple d’ ensemble indénombrable résultant de l’ intersection de deux ensembles indénombrables est R ∩ R = R .
Tous les ensembles infinis sont-ils indénombrables ?
Cela signifie qu’ils peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels. Les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres rationnels sont tous dénombrables infinis . Toute union ou intersection d’ensembles infinis dénombrables est également dénombrable. Le produit cartésien d’un nombre quelconque d’ ensembles dénombrables est dénombrable.
L’ensemble de toutes les fonctions de 0 1 à n est-il dénombrable ou indénombrable ?
Solution. L’ ensemble D de toutes les fonctions f : N → N contient l’ ensemble E de toutes les fonctions de N à { 0 , 1 }, c’est-à-dire l’ ensemble de toutes les suites binaires infinies. Le second argument diagonal de Cantor montre que E est indénombrable ; puisque E ⊂ D, il s’ensuit que D est indénombrable .